我们到底是因为什么而恐惧数学呢？是因为怎么都解答不了的数学题吗？还是理解不了，背不完的数学公式呢？或者是不断“神化”的数学思维？ 如果有一本数学科普书，全书没有一个公式，没有一道数学题目，全都是文字性的语言描述，深入浅出，小学生都能读完，却讲透了数学的本质，那么你是否还会因为书名加了“数学”两字而敬而远之呢？ 如果你不相信，不妨读一下这本书；小编摘录了书中最核心也最有趣的观点，与你一同进入数学的世界。 我记得几年前经常合作的一位数学家朋友曾经说过一句话。当时我们俩正要道别，我们决定在两周后的同一天、同一时间再见。在她掏出记事本以便记下见面的日期时，我听到她喃喃低语了一句，多半是说给她自己而不是说给我听的：“今天是 4 月 20 号，那么 14 天之后就是 34 号，那就是 34 减 30——5 月 4 号。” 这个算法让我笑了。我在回程的地铁上想了很长时间，她发明了一个不存在的日期：4 月 34 号。这种思维方式对于一个受过数学训练的人来说既自然又典型！当天晚上，我对几个并非数学专业出身的朋友提出了这个问题：“14 天后是几号？”我发现。他们每一个人推导日期的方式都不一样。有人说，10 天之后是 4 月 30 号，所以 11 天之后就是 5 月 1 号，那么 14 天之后就是 5 月 4 号。从 4 月到 5 月的过渡打破了算术的规则，因为 30 的后面是 1，这一过渡似乎把他们限制在一个数学之外的步骤上去进行月份转换。由于数字的自然增长被打断了，因此必须着意打断这种思维。而我必须承认，如果有人对我提出这个问题，我很可能也会这样推导日期。 相反，我的那位数学家朋友并没有在这些太过实际的障碍上停滞不前。4 月的最后一个日期没有对她的加法形成任何妨碍。因为 20 加14 等于 34，所以日期就会是 4 月 34 号。而 4 月 34 号就等于 5 月 4号，仅此而已（图 2.6）。她发明了一个不存在的日期，以便让自己的推导直达目标。而这丝毫没有妨碍她得到正确的结果！ 这是数学颠覆我们三观的优点之一：可以用不存在的东西去恰当地思考。实际上，思考不存在的东西甚至可以说是数学的特性。不存在的东西也就是抽象的东西。 数字显然是最引人注目的例子之一。一旦脱离了被它们模型化的现实，数字就成了纯抽象的概念。它们是想法，是我们用作思维中间环节的想象之物。就像发明 4 月 34 号来推导日期会是方便之法一样，发明新的数字对思考新的问题也会有所帮助。 比如，复数就是这样不期而至的。没有任何距离会是 − 11 千米。无论从哪种逻辑上来讲，距离都应该用一个正数来表示。但是，在测量地球上各点之于海平面的海拔时，把位于海平面之下的海渊的海拔看作负数会很实用。照此，位于地壳最深点的马里亚纳海沟的海拔就是约 − 11 千米（图 2.7）。负海拔就是地理学家的 4 月 34 号。 研究数学，就是创造想象的世界，在这些世界中，我们的思维可以自由漫步，不必担心现实的妨碍。这种思维方式虽然涵盖的范围要广得多，但和尼普尔人在加法世界中用来简化乘法的思维方式非常相似。当你碰到一个科学问题时，下面这种解决方法往往会很有效： 1. 创造一个数学世界，你可以在这个世界里把问题模型化； 2. 在这个数学世界里解决问题； 3. 把结果转回到现实世界中。 比如说，这种通用的方法就被天文学家用来了解行星的轨迹或预测日食（图 2.8）。 这种解决问题的模式叫作“雨伞定理”。如果你在雨天想要在不被淋湿的情况下从一个地方前往另一个地方，请按照以下步骤操作（图 2.9）： 1. 撑开你的雨伞； 2. 开始你的行程； 3. 收起你的雨伞。 步骤 1 和步骤 3 的操作是相反的，如果你能够在雨伞为你打开的特定世界中达成预期的目标，那么你在操作结束时就会恢复到开始时的状态。负数的雨伞为地理学家测量海拔提供了研究上的便利。对数的雨伞让淹没在乘法中的天文学家得以进入加法的世界。而更广泛地说，抽象的雨伞为所有科学家进入数学世界提供了可能。 在接下来的路途中，我们还会用到很多雨伞。雨伞，是观点的改变，是差异，是从另一个角度看待事物的艺术，一种更适合、更有效的角度。 走得更远，并不总是意味着长久而乏味的努力，而是首先要找到解决所面临的问题的正确方法。如果我们以正确的方式看待问题，那么最错综复杂的问题也会在一瞬间变得简单明了。伟大的智者能尽显其才，首先是因为他们拥有在正确的时间发明正确的雨伞的能力。 在 18 世纪，古怪的作家和旅行家乔纳斯·汉韦（Jonas Hanway）是第一个使用雨伞的伦敦人。这是一把真的雨伞——挡雨的伞。他为此遭受了很多白眼和伦敦马车夫赤裸裸的恶意，因为在当时，搭乘马车一直是在糟糕天气出行而不会被淋湿的唯一方法。毫不畏惧旁人眼光的汉韦继续自豪地使用了三十多年的雨伞，并慢慢看到他的同胞们也开